Filtro de média de mudança de fase

Rapaz, PeterK. Não posso imaginar um filtro verdadeiramente linear e causal que seja verdadeiramente IIR. Não consigo ver como você conseguiria simetria sem que a coisa fosse FIR. E, semanticamente, eu chamaria um IIR truncado (TIIR) um método de implementação de uma classe de FIR. E então você não vai ter uma fase linear a menos que você com a coisa filtfilt com ela, em bloco, sorta como Powell-Chau. Ndash robert bristow-johnson Nov 26 15 at 3:32 Esta resposta explica como funciona filtfilt. Ndash Matt L. Nov 26 15 às 7:48 Um filtro de média móvel de fase zero é um filtro FIR de comprimento ímpar com coeficientes onde N é o comprimento do filtro (ímpar). Uma vez que hn tem valores não nulos para nlt0, não é causal e, consequentemente, só pode ser implementado adicionando um atraso, isto é, tornando-o causal. Observe que você não pode simplesmente usar a função Filtfilt do Matlabs com esse filtro porque, mesmo que você obtivesse a fase zero (com um atraso), a magnitude da função de transferência de filtros fica ao quadrado, correspondendo a uma resposta de impulso triangular Amostra atual recebem menos peso). Esta resposta explica em mais detalhe o que filtfilt faz. O cientista e engenheiros guia para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 19: Filtros Recursivos Há três tipos de resposta de fase que um filtro pode ter: fase zero. Fase linear. E fase não linear. Um exemplo de cada um destes é mostrado na Figura 19-7. Conforme ilustrado em (a), o filtro de fase zero é caracterizado por uma resposta de impulso que é simétrica em torno da amostra zero. A forma real não importa, apenas que as amostras numeradas negativas são uma imagem espelhada das amostras numeradas positivas. Quando a transformada de Fourier é tomada desta forma de onda simétrica, a fase será inteiramente zero, como mostrado em (b). A desvantagem do filtro de fase zero é que ele requer o uso de índices negativos, o que pode ser inconveniente trabalhar com. O filtro de fase linear é uma maneira de contornar isso. A resposta ao impulso em (d) é idêntica à mostrada em (a), excepto que foi deslocada para utilizar apenas amostras positivas numeradas. A resposta ao impulso ainda é simétrica entre a esquerda e a direita, no entanto, a localização da simetria foi deslocada de zero. Esta mudança resulta na fase, (e), sendo uma linha reta. Representando o nome: fase linear. A inclinação dessa linha reta é diretamente proporcional à quantidade da mudança. Uma vez que a mudança na resposta ao impulso não produz nada, mas produz uma mudança idêntica no sinal de saída, o filtro de fase linear é equivalente ao filtro de fase zero para a maioria dos propósitos. A figura (g) mostra uma resposta de impulso que não é simétrica entre a esquerda e a direita. Correspondentemente, a fase, (h), não é uma linha reta. Por outras palavras, tem uma fase não linear. Não confunda os termos: fase não-linear e linear com o conceito de linearidade do sistema discutido no Capítulo 5. Embora ambos usem a palavra linear. Eles não estão relacionados. Por que alguém se importa se a fase é linear ou não As figuras (c), (f) e (i) mostram a resposta. Estas são as respostas de pulso de cada um dos três filtros. A resposta de pulso não é nada mais do que uma resposta de passo positiva, seguida por uma resposta de passo negativa. A resposta de pulso é usada aqui porque exibe o que acontece com ambas as bordas ascendentes e descendentes em um sinal. Aqui está a parte importante: filtros de fase zero e linear possuem bordas esquerda e direita que parecem iguais. Enquanto filtros de fase não-lineares têm bordas esquerda e direita que parecem diferentes. Muitas aplicações não podem tolerar as bordas esquerda e direita procurando diferente. Um exemplo é a exibição de um osciloscópio, onde essa diferença pode ser mal interpretada como uma característica do sinal que está sendo medido. Outro exemplo é o processamento de vídeo. Você pode imaginar ligar sua TV para encontrar a orelha esquerda de seu ator favorito procurando diferente de sua orelha direita É fácil fazer um filtro FIR (resposta de impulso finito) tem uma fase linear. Isso ocorre porque a resposta ao impulso (kernel do filtro) é especificada diretamente no processo de design. Fazer com que o kernel do filtro tenha simetria esquerda-direita é tudo o que é necessário. Este não é o caso dos filtros IIR (recursivos), uma vez que os coeficientes de recursão são o que é especificado, e não a resposta ao impulso. A resposta de impulso de um filtro recursivo não é simétrica entre a esquerda e a direita e, portanto, tem uma fase não linear. Os circuitos eletrônicos analógicos têm esse mesmo problema com a resposta de fase. Imagine um circuito composto de resistores e capacitores sentados em sua mesa. Se a entrada sempre foi zero, a saída também terá sido sempre zero. Quando um impulso é aplicado à entrada, os capacitores carregam rapidamente para algum valor e então começam a decrescer exponencialmente através dos resistores. A resposta ao impulso (isto é, o sinal de saída) é uma combinação destas várias exponenciais decrescentes. A resposta ao impulso não pode ser simétrica, porque a saída era zero antes do impulso, ea decomposição exponencial nunca atinge novamente o valor zero. Criadores de filtros analógicos atacam este problema com o filtro Bessel. Apresentado no Capítulo 3. O filtro Bessel é projetado para ter como fase linear possível, no entanto, está muito abaixo do desempenho dos filtros digitais. A capacidade de fornecer uma fase linear exata é uma clara vantagem dos filtros digitais. Felizmente, existe uma maneira simples de modificar filtros recursivos para obter uma fase zero. A Figura 19-8 mostra um exemplo de como isso funciona. O sinal de entrada a ser filtrado é mostrado em (a). A Figura (b) mostra o sinal depois de ter sido filtrado por um filtro de passa-baixa de um pólo. Como este é um filtro de fase não-linear, as bordas esquerda e direita não parecem iguais, são versões invertidas umas das outras. Conforme descrito anteriormente, este filtro recursivo é implementado começando na amostra 0 e trabalhando em direcção à amostra 150, calculando cada amostra ao longo do caminho. Agora, suponha que em vez de se mover da amostra 0 para a amostra 150, começamos na amostra 150 e nos movemos em direção à amostra 0. Em outras palavras, cada amostra no sinal de saída é calculada a partir de amostras de entrada e saída à direita da amostra sendo trabalhada em. Isso significa que a equação de recursão, Eq. 19-1, é alterado para: A figura (c) mostra o resultado desta filtragem inversa. Isto é análogo a passar um sinal analógico através de um circuito RC eletrônico enquanto tempo de funcionamento para trás. Filtragem no sentido inverso não produz qualquer benefício em si mesmo o sinal filtrado ainda tem bordas esquerda e direita que não se parecem. A magia acontece quando a filtragem para frente e para trás é combinada. A figura (d) resulta da filtragem do sinal na direcção de avanço e depois filtragem novamente na direcção inversa. Voila Isso produz um filtro recursivo de fase zero. De fato, qualquer filtro recursivo pode ser convertido em fase zero com esta técnica de filtragem bidirecional. A única penalidade para este desempenho melhorado é um fator de dois no tempo de execução e na complexidade do programa. Como você encontra as respostas de impulso e freqüência do filtro global A magnitude da resposta de freqüência é a mesma para cada direção, enquanto as fases são opostas no sinal. Quando as duas direções são combinadas, a magnitude torna-se quadrada. Enquanto a fase cancela para zero. No domínio do tempo, isto corresponde à convolução da resposta de impulso original com uma versão invertida da esquerda para a direita de si mesma. Por exemplo, a resposta de impulso de um filtro passa-baixo de um único pólo é uma exponencial unilateral. A resposta ao impulso do filtro bidirecional correspondente é uma exponencial unilateral que se decompõe para a direita, convertida com uma exponencial unilateral que decai para a esquerda. Passando pela matemática, isso acaba por ser uma exponencial de dupla face que decai tanto para a esquerda quanto para a direita, com a mesma constante de decaimento que o filtro original. Algumas aplicações apenas têm uma parte do sinal no computador em um determinado momento, como sistemas que alternadamente entrada e saída de dados em uma base contínua. A filtragem bidireccional pode ser usada nestes casos combinando-a com o método de sobreposição-adição descrito no último capítulo. Quando você chega à questão de quanto tempo a resposta ao impulso é, não diga infinito. Se você fizer isso, você precisará preencher cada segmento de sinal com um número infinito de zeros. Lembre-se de que a resposta ao impulso pode ser truncada quando se decompõe abaixo do nível de ruído de arredondamento, isto é, cerca de 15 a 20 constantes de tempo. Cada segmento terá de ser preenchido com zeros tanto na esquerda como na direita para permitir a expansão durante a filtragem bidirecional. Filtros FIR, filtros IIR e equação de diferença de coeficientes constantes lineares Filtros de média móvel causal (FIR) Que cada amostra da saída é uma soma ponderada de (certa das) as amostras da entrada. Vamos tomar um sistema de soma ponderada causal, onde causal significa que uma dada amostra de saída depende apenas da amostra de entrada atual e outros insumos mais cedo na seqüência. Nem os sistemas lineares em geral, nem os sistemas finitos de resposta ao impulso em particular, precisam ser causais. No entanto, a causalidade é conveniente para um tipo de análise que iria explorar em breve. Se simbolizamos as entradas como valores de um vetor x. E as saídas como valores correspondentes de um vetor y. Então tal sistema pode ser escrito como onde os valores de b são quotweights aplicados às amostras de entrada atuais e anteriores para obter a amostra de saída atual. Podemos pensar na expressão como uma equação, com o sinal de igual signo igual a, ou como uma instrução processual, com o sinal de igual significação atribuição. Vamos escrever a expressão para cada amostra de saída como um loop MATLAB de instruções de atribuição, onde x é um vetor N-comprimento de amostras de entrada, e b é um vetor M-comprimento de pesos. A fim de lidar com o caso especial no início, vamos incorporar x em um vetor mais longo xhat cujas primeiras M-1 amostras são zero. Vamos escrever a soma ponderada para cada y (n) como um produto interno, e faremos algumas manipulações das entradas (como inverter b) para este fim. Esse tipo de sistema é muitas vezes chamado de filtro de média móvel, por razões óbvias. De nossas discussões anteriores, deve ser óbvio que tal sistema é linear e invariante ao deslocamento. Claro, seria muito mais rápido usar a convolução de função MATLAB conv () em vez do nosso mafilt (). Em vez de considerar as primeiras amostras M-1 da entrada como sendo zero, poderíamos considerá-las iguais às últimas amostras M-1. Isso é o mesmo que tratar a entrada como periódica. Bem, use cmafilt () como o nome da função, uma pequena modificação da função mafilt () anterior. Na determinação da resposta de impulso de um sistema, não há geralmente nenhuma diferença entre estes dois, desde que todas as amostras não-iniciais da entrada são zero: Uma vez que um sistema deste tipo é linear e shift-invariante, sabemos que seu efeito em qualquer Sinusoid será apenas a escala e deslocá-lo. Aqui é importante que usemos a versão circular A versão circularmente convoluta é deslocada e escalada um pouco, enquanto a versão com convolução ordinária é distorcida no início. Vamos ver o que a escala exata e deslocamento é usando um fft: Tanto a entrada ea saída têm amplitude apenas nas freqüências 1 e -1, que é como deveria ser, uma vez que a entrada era uma sinusoid eo sistema era linear. Os valores de saída são maiores numa razão de 10,62518 1,3281. Este é o ganho do sistema. E quanto à fase Nós só precisamos olhar onde a amplitude é diferente de zero: A entrada tem uma fase de pi2, como nós pedimos. A fase de saída é deslocada por um adicional 1.0594 (com sinal oposto para a freqüência negativa), ou cerca de 16 de um ciclo à direita, como podemos ver no gráfico. Agora vamos tentar uma sinusoid com a mesma freqüência (1), mas em vez de amplitude 1 e fase pi2, vamos tentar amplitude 1,5 e fase 0. Sabemos que apenas a freqüência 1 e -1 terá amplitude não-zero, então vamos apenas olhar Para eles: Novamente a razão de amplitude (15.937712.0000) é 1.3281 - e quanto à fase é novamente deslocada por 1.0594 Se esses exemplos são típicos, podemos prever o efeito do nosso sistema (resposta de impulso .1 .2 .3 .4 .5) em qualquer sinusoide com freqüência 1 - a amplitude será aumentada em um fator de 1,3281 e a fase (freqüência positiva) será deslocada em 1,0594. Poderíamos continuar a calcular o efeito desse sistema sobre sinusóides de outras freqüências pelos mesmos métodos. Mas há uma maneira muito mais simples, e uma que estabelece o ponto geral. Dado que a circunvolução (circular) no domínio do tempo significa a multiplicação no domínio da frequência, daí decorre que, por outras palavras, a DFT da resposta de impulso é a razão da DFT da saída para a DFT da entrada. Nesta relação os coeficientes de DFT são números complexos. Desde abs (c1c2) abs (c1) abs (c2) para todos os números complexos c1, c2, esta equação nos diz que o espectro de amplitude da resposta de impulso será sempre a relação entre o espectro de amplitude da saída para a da entrada . No caso do espectro de fase, ângulo (c1c2) ângulo (c1) - ângulo (c2) para todos os c1, c2 (com a condição de que as fases diferentes por n2pi são considerados iguais). Portanto, o espectro de fase da resposta ao impulso será sempre a diferença entre os espectros de fase da saída e da entrada (com quaisquer correções de 2pi são necessárias para manter o resultado entre - pi e pi). Podemos ver os efeitos de fase mais claramente se desempacotarmos a representação da fase, isto é, se adicionarmos vários múltiplos de 2pi conforme necessário para minimizar os saltos que são produzidos pela natureza periódica da função ângulo (). Embora a amplitude e a fase sejam normalmente utilizadas para apresentação gráfica e mesmo tabular, uma vez que são uma forma intuitiva de pensar os efeitos de um sistema sobre os vários componentes de frequência de sua entrada, os coeficientes de Fourier complexos são mais úteis algébricamente, A expressão simples da relação A abordagem geral que acabamos de ver funcionará com filtros arbitrários do tipo esboçado, em que cada amostra de saída é uma soma ponderada de algum conjunto de amostras de entrada. Como mencionado anteriormente, estes são muitas vezes chamados filtros de resposta de impulso finito, porque a resposta ao impulso é de tamanho finito, ou às vezes filtros de média móvel. Podemos determinar as características de resposta de freqüência de tal filtro a partir da FFT de sua resposta de impulso e também podemos projetar novos filtros com características desejadas por IFFT a partir de uma especificação da resposta de freqüência. Filtros Autoregressivos (IIR) Não haveria nenhum ponto em ter nomes para filtros FIR, a menos que houvesse algum outro tipo de distinção, de modo que aqueles que estudaram pragmática não ficarão surpresos ao saber que existe de fato outro tipo principal Do filtro tempo-invariante linear. Estes filtros são às vezes chamados recursivos porque o valor de saídas anteriores (assim como entradas anteriores) importa, embora os algoritmos sejam geralmente escritos usando construções iterativas. Eles também são chamados filtros Infinite Impulse Response (IIR), porque em geral sua resposta a um impulso continua para sempre. Eles também são chamados de filtros auto-regressivos, porque os coeficientes podem ser considerados como o resultado de fazer uma regressão linear para expressar valores de sinal como uma função de valores de sinal anteriores. A relação dos filtros FIR e IIR pode ser vista claramente numa equação de diferença de coeficiente constante linear, isto é, estabelecendo uma soma ponderada de saídas igual a uma soma ponderada de entradas. Isto é como a equação que damos anteriormente para o filtro causal FIR, exceto que, além da soma ponderada de insumos, também temos uma soma ponderada de saídas. Se quisermos pensar nisso como um procedimento para gerar amostras de saída, precisamos reorganizar a equação para obter uma expressão para a amostra de saída atual y (n), Adotando a convenção de que a (1) 1 (por exemplo, escalando outros como E bs), podemos nos livrar do termo 1a (1): y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). B (Nb1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - a (Na1) y (n-na) Se todos os a (n) diferentes de a (1) são zero, isso reduz a nosso velho amigo o filtro FIR causal. Este é o caso geral de um filtro (causal) LTI, e é implementado pelo filtro de função MATLAB. Vejamos o caso em que os coeficientes b diferentes de b (1) são zero (em vez do caso FIR, onde a (n) são zero): Neste caso, a amostra de saída corrente y (n) é calculada como um (N-1), y (n-2), etc. Para ter uma idéia do que acontece com esses filtros, vamos começar com o caso em que: Isto é, a amostra de saída atual é a soma da amostra de entrada corrente e metade da amostra de saída anterior. Bem, tome um impulso de entrada através de alguns passos de tempo, um de cada vez. Deve ficar claro neste ponto que podemos facilmente escrever uma expressão para o n-ésimo valor de amostra de saída: é apenas (se MATLAB contado a partir de 0, isso seria simplesmente .5n). Uma vez que o que estamos calculando é a resposta ao impulso do sistema, temos demonstrado por exemplo que a resposta ao impulso pode de fato ter infinitas amostras diferentes de zero. Para implementar esse filtro trivial de primeira ordem no MATLAB, poderíamos usar o filtro. A chamada será assim: eo resultado é: Este negócio é realmente ainda linear Podemos olhar para isto empiricamente: Para uma abordagem mais geral, considere o valor de uma amostra de saída y (n). Por substituição sucessiva poderíamos escrever isto como Isto é exatamente como o nosso velho amigo a forma convolução-soma de um filtro FIR, com a resposta ao impulso fornecida pela expressão .5k. E o comprimento da resposta ao impulso é infinito. Assim, os mesmos argumentos que usamos para mostrar que os filtros FIR eram lineares agora se aplicam aqui. Até agora isso pode parecer um monte de barulho por não muito. O que é toda esta linha de investigação bom para Bem responder esta questão em etapas, começando com um exemplo. Não é uma grande surpresa que possamos calcular uma amostra exponencial por multiplicação recursiva. Vamos olhar para um filtro recursivo que faz algo menos óbvio. Desta vez, torná-lo um filtro de segunda ordem, de modo que a chamada para filtrar será da forma Vamos definir o segundo coeficiente de saída a2 para -2cos (2pi40) eo terceiro coeficiente de saída a3 para 1, e olhar para o impulso resposta. Não é muito útil como um filtro, na verdade, mas gera uma onda senoidal amostrada (de um impulso) com três multiplicações por amostra. Para entender como e por que faz isso, e como filtros recursivos podem ser projetados e analisados ​​em O caso mais geral, precisamos dar um passo atrás e dar uma olhada em algumas outras propriedades de números complexos, no caminho para a compreensão z transform. Time Series Analysis: O processo de ajuste sazonal Quais são as duas principais filosofias de ajuste sazonal O que É um filtro Qual é o problema do ponto final Como decidimos qual filtro usar O que é uma função de ganho O que é um deslocamento de fase Quais são as médias móveis de Henderson Como lidar com o problema do ponto final O que são médias móveis sazonais Por que as estimativas de tendência Revisado Quantos dados são necessários para obter estimativas ajustadas sazonalmente aceitáveis ​​AVANÇADO Como se comparam as duas filosofias de ajuste sazonal QUAIS SÃO AS DOIS PRINCIPAIS FILOSOFIAS DE AJUSTE ESTACIONAL As duas filosofias principais Para o ajuste sazonal são o método baseado em modelo e o método baseado em filtro. Métodos baseados em filtros Este método aplica um conjunto de filtros fixos (médias móveis) para decompor as séries temporais em uma componente tendencial, sazonal e irregular. A noção subjacente é que os dados econômicos são compostos por uma série de ciclos, incluindo ciclos econômicos (a tendência), ciclos sazonais (sazonalidade) e ruído (componente irregular). Um filtro essencialmente remove ou reduz a resistência de certos ciclos a partir dos dados de entrada. Para produzir uma série ajustada sazonalmente a partir dos dados coletados mensalmente, os eventos que ocorrem a cada 12, 6, 4, 3, 2,4 e 2 meses precisam ser removidos. Estes correspondem a frequências sazonais de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ciclos por ano. Os ciclos não sazonais mais longos são considerados parte da tendência e os ciclos não sazonais mais curtos formam o irregular. No entanto, o limite entre a tendência e ciclos irregulares pode variar com o comprimento do filtro utilizado para obter a tendência. No ABS ajuste sazonal, ciclos que contribuem significativamente para a tendência são tipicamente maiores do que cerca de 8 meses para séries mensais e 4 trimestres para séries trimestrais. A tendência, os componentes sazonais e irregulares não precisam de modelos individuais explícitos. O componente irregular é definido como o que permanece após a tendência e os componentes sazonais foram removidos por filtros. Irregulares não apresentam características de ruído branco. Métodos baseados em filtros são freqüentemente conhecidos como métodos de estilo X11. Estes incluem X11 (desenvolvido pela U. S. Census Bureau), X11ARIMA (desenvolvido pela Estatística Canadá), X12ARIMA (desenvolvido pelo U. S. Census Bureau), STL, SABL e SEASABS (o pacote utilizado pelo ABS). As diferenças computacionais entre vários métodos na família X11 são principalmente o resultado de diferentes técnicas usadas nas extremidades da série temporal. Por exemplo, alguns métodos usam filtros assimétricos nas extremidades, enquanto outros métodos extrapolam as séries temporais e aplicam filtros simétricos à série estendida. Métodos baseados em modelos Esta abordagem requer que a tendência, os componentes sazonais e irregulares das séries temporais sejam modeladas separadamente. Assume-se que a componente irregular é 8220 ruído branco 8221 - que é todos os comprimentos de ciclo são igualmente representados. Os irregulares têm média zero e uma variância constante. A componente sazonal tem o seu próprio elemento de ruído. Dois pacotes de software amplamente utilizados que aplicam métodos baseados em modelos são STAMP e SEATSTRAMO (desenvolvido pelo Banco de Espanha.) As principais diferenças computacionais entre os vários métodos baseados em modelos são geralmente devido a especificações do modelo, em alguns casos os componentes são modelados diretamente. Exigem que as séries temporais originais sejam modeladas primeiro e os modelos componentes sejam decompostos a partir dele Para uma comparação das duas filosofias a um nível mais avançado, veja Como as duas filosofias de ajuste sazonal se comparam O QUE É UM FILTRO Os filtros podem ser usados ​​para decompor Uma série de tempo em uma tendência, componente sazonal e irregular. Moedas médias são um tipo de filtro que sucessivamente média um período de tempo de mudança de dados, a fim de produzir uma estimativa suavizada de uma série temporal. Esta série suavizada pode ser considerada como tendo sido derivado Através da execução de uma série de entradas através de um processo que filtra certos ciclos. Portanto, uma média móvel é muitas vezes referida como um filtro. O processo básico envolve a definição de um conjunto de pesos de comprimento m 1 m 2 1 como: Nota: um conjunto simétrico de pesos tem m 1 m 2 e wjw - j Um valor filtrado no tempo t pode ser calculado por onde Y t descreve o valor Da série temporal no instante t. Por exemplo, considere a seguinte série: Usando um filtro simétrico simples de 3 termos (ou seja, m 1 m 2 1 e todos os pesos são 13), o primeiro termo da série suavizada é obtido aplicando os pesos aos três primeiros termos do original Série: O segundo valor suavizado é produzido aplicando os pesos ao segundo, terceiro e quarto termos da série original: O QUE É O PROBLEMA DO PONTO FINAL Reconsiderar a série: Esta série contém 8 termos. No entanto, a série suavizada obtida aplicando filtro simétrico aos dados originais contém apenas 6 termos: Isto é porque há dados insuficientes nas extremidades da série para aplicar um filtro simétrico. O primeiro termo da série suavizada é uma média ponderada de três termos, centrada no segundo termo da série original. Uma média ponderada centrada no primeiro termo da série original não pode ser obtida como dados antes que este ponto não esteja disponível. Da mesma forma, não é possível calcular uma média ponderada centrada no último termo da série, pois não há dados após este ponto. Por esta razão, os filtros simétricos não podem ser usados ​​em nenhuma das extremidades de uma série. Isso é conhecido como o problema do ponto final. Analistas de séries temporais podem usar filtros assimétricos para produzir estimativas suavizadas nessas regiões. Neste caso, o valor suavizado é calculado 8216 fora do centro 8217, sendo a média determinada usando mais dados de um lado do ponto do que o outro de acordo com o que está disponível. Alternativamente, as técnicas de modelagem podem ser usadas para extrapolar as séries temporais e, em seguida, aplicar filtros simétricos para a série estendida. COMO DECIDEMOS O FILTRO A UTILIZAR O analista de séries temporais escolhe um filtro apropriado com base nas suas propriedades, como os ciclos que o filtro remove quando aplicado. As propriedades de um filtro podem ser investigadas usando uma função de ganho. As funções de ganho são usadas para examinar o efeito de um filtro em uma determinada freqüência na amplitude de um ciclo para uma série de tempo particular. Para obter mais detalhes sobre a matemática associada às funções de ganho, você pode baixar as Notas do Curso da Série de Tempo, um guia introdutório para a análise de séries temporais publicada pela Seção de Análise de Séries Temporais do ABS (consulte a seção 4.4). O diagrama a seguir é a função de ganho para o filtro de 3 terminais simétricos que estudamos anteriormente. Figura 1: Função de ganho para o filtro simétrico de 3 períodos O eixo horizontal representa o comprimento de um ciclo de entrada em relação ao período entre os pontos de observação da série temporal original. Assim, um ciclo de entrada de comprimento 2 é completado em 2 períodos, o que representa 2 meses para uma série mensal e 2 trimestres para uma série trimestral. O eixo vertical mostra a amplitude do ciclo de saída em relação a um ciclo de entrada. Este filtro reduz a intensidade de 3 ciclos de período para zero. Ou seja, remove completamente ciclos de aproximadamente este comprimento. Isto significa que para uma série de tempo onde os dados são coletados mensalmente, quaisquer efeitos sazonais que ocorrem trimestralmente serão eliminados aplicando este filtro à série original. Um desvio de fase é o deslocamento de tempo entre o ciclo filtrado e o ciclo não filtrado. Um deslocamento de fase positivo significa que o ciclo filtrado é deslocado para trás e um desvio de fase negativo é deslocado para a frente no tempo. O deslocamento de fase ocorre quando a temporização dos pontos de viragem é distorcida, por exemplo quando a média móvel é colocada fora do centro pelos filtros assimétricos. Isso é que eles ocorrerão mais cedo ou mais tarde na série filtrada, do que no original. As médias móveis simétricas de comprimento ímpar (usadas pelo ABS), onde o resultado é colocado centralmente, não causam deslocamento de fase do tempo. É importante que os filtros usados ​​para derivar a tendência para manter a fase de tempo e, portanto, o tempo de quaisquer pontos de viragem. As Figuras 2 e 3 mostram os efeitos da aplicação de uma média móvel simétrica 2x12 que é descentrada. As curvas contínuas representam os ciclos iniciais e as curvas quebradas representam os ciclos de saída após a aplicação do filtro de média móvel. Figura 2: Ciclo de 24 meses, Fase -5,5 meses Amplitude 63 Figura 3: Ciclo de 8 meses, Fase -1,5 meses Amplitude 22 QUAIS SÃO MÉDIOS MOVENTES DE HENDERSON As médias móveis de Henderson são filtros que foram derivados por Robert Henderson em 1916 para uso em aplicações atuariais. Eles são filtros de tendência, comumente usados ​​em análise de séries temporais para suavizar estimativas ajustadas sazonalmente, a fim de gerar uma estimativa de tendência. Eles são usados ​​em preferência a médias móveis mais simples, porque eles podem reproduzir polinômios de até grau 3, capturando assim pontos de viragem de tendência. O ABS usa médias móveis Henderson para produzir estimativas de tendência de uma série ajustada sazonalmente. As estimativas de tendência publicadas pelo ABS são tipicamente derivadas usando um filtro de Henderson de 13 termos para séries mensais e um filtro de Henderson de 7 termos para séries trimestrais. Os filtros de Henderson podem ser simétricos ou assimétricos. As médias móveis simétricas podem ser aplicadas em pontos suficientemente afastados das extremidades de uma série temporal. Neste caso, o valor suavizado para um dado ponto na série temporal é calculado a partir de um número igual de valores em ambos os lados do ponto de dados. Para obter os pesos, é alcançado um compromisso entre as duas características geralmente esperadas de uma série de tendências. Estes são que a tendência deve ser capaz de representar uma ampla gama de curvaturas e que ele também deve ser tão suave quanto possível. Para a derivação matemática dos pesos, consulte a seção 5.3 das Notas do Curso da Série de Tempo. Que pode ser baixado gratuitamente no site da ABS. Os padrões de ponderação para um intervalo de médias móveis de Henderson simétricas são apresentados na tabela a seguir: Padrão de ponderação simétrica para Henderson Moving Average Em geral, quanto maior o filtro de tendência, mais suave a tendência resultante, como é evidente a partir de uma comparação das funções de ganho acima. Um Henderson de 5 termos reduz ciclos de aproximadamente 2,4 períodos ou menos em pelo menos 80, enquanto que um termo de 23 Henderson reduz ciclos de cerca de 8 períodos ou menos em pelo menos 90. De fato, um termo de 23 Henderson filtro remove completamente ciclos de menos de 4 períodos . Henderson médias móveis também moderar os ciclos sazonais em graus variados. No entanto, as funções de ganho nas Figuras 4-8 mostram que os ciclos anuais nas séries mensal e trimestral não são suficientemente amortecidos para justificar a aplicação de um filtro de Henderson diretamente às estimativas originais. É por isso que eles são aplicados apenas a uma série ajustada sazonalmente, onde os efeitos relacionados calendário já foram removidos com filtros projetados especificamente. A Figura 9 mostra os efeitos de alisamento da aplicação de um filtro de Henderson a uma série: Figura 9: Filtro de Henderson de 23 Dias - Valor de Aprovações de Edifícios Não Residenciais COMO NÓS LIDAMOS COM O PROBLEMA DE PONTO FINAL O filtro de Henderson simétrico só pode ser aplicado a regiões De dados que estão suficientemente longe dos extremos da série. Por exemplo, o termo padrão 13 Henderson só pode ser aplicado a dados mensais que é pelo menos 6 observações a partir do início ou final dos dados. Isso ocorre porque a suavidade do filtro da série, tendo uma média ponderada dos 6 termos de cada lado do ponto de dados, bem como o ponto em si. Se tentarmos aplicá-lo a um ponto que é inferior a 6 observações a partir do final dos dados, então não há dados suficientes disponíveis em um lado do ponto para calcular a média. Para fornecer estimativas de tendência destes pontos de dados, utiliza-se uma média móvel modificada ou assimétrica. O cálculo de filtros Henderson assimétricos pode ser gerado por uma série de métodos diferentes que produzem resultados semelhantes, mas não idênticos. Os quatro métodos principais são o método de Musgrave, o método de Minimização do Quadrado Médio, o método Best Linear Unbiased Estimates (AZUL) eo método de Kenny e Durbin. Shiskin et. Al (1967) derivaram os pesos assimétricos originais para a média móvel de Henderson que são usados ​​dentro dos pacotes X11. Para obter informações sobre a derivação dos pesos assimétricos, consulte a seção 5.3 das notas do curso da série temporal. Considere uma série de tempo onde o último ponto de dados observado ocorre no tempo N. Então um filtro de Henderson de 13 termos simétricos não pode ser aplicado a pontos de dados que são medidos a qualquer momento após e incluindo o tempo N-5. Para todos esses pontos, um conjunto de pesos assimétrico deve ser usado. A tabela a seguir apresenta o padrão de ponderação assimétrica para uma média móvel de Henderson de 13 termos. Os filtros de Henderson de 13 termos assimétricos não removem nem amortecem os mesmos ciclos que o filtro de Henderson de 13 termos simétrico. De fato, o padrão de ponderação assimétrica usado para estimar a tendência na última observação amplifica a força de 12 ciclos de período. Também filtros assimétricos produzem algum deslocamento de fase de tempo. QUAIS SÃO AS MÉDIA MOVIMENTO SAZONÁRIO Quase todos os dados investigados pelo ABS têm características sazonais. Como as médias móveis de Henderson usadas para estimar a série de tendências não eliminam a sazonalidade, os dados devem ser ajustados sazonalmente primeiro usando filtros sazonais. Um filtro sazonal tem pesos que são aplicados ao mesmo período ao longo do tempo. Um exemplo do padrão de ponderação para um filtro sazonal seria: (13, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13) onde, por exemplo, um peso de um terço é aplicado a três janeiro consecutivos. Dentro de X11, uma série de filtros sazonais estão disponíveis para escolher. Estas são uma média móvel ponderada de três períodos (ma) S 3x1. Ponderado 5-term ma S 3x3. Ponderada 7-termo ma S 3x5. E uma ponderada 11-termo ma S 3x9. A estrutura de ponderação das médias móveis ponderadas da forma, S nxm. É que uma média simples de m termos calculados e, em seguida, uma média móvel de n dessas médias é determinada. Isto significa que os termos nm-1 são usados ​​para calcular cada valor suavizado final. Por exemplo, para calcular um 11-termo S 3x9. Um peso de 19 é aplicado ao mesmo período em 9 anos consecutivos. Em seguida, é aplicada uma média móvel de 3 termos simples através dos valores médios: Isto dá um padrão de ponderação final de (127, 227, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 227, 127). A função de ganho para um filtro sazonal de 11 períodos, S 3x9. Se como: Figura 10: Função de ganho para 11 Term (S 3x9) Filtro sazonal Aplicando um filtro sazonal aos dados irá gerar uma estimativa da componente sazonal da série temporal, uma vez que preserva a força dos harmônicos sazonais e amortece os ciclos de não - Sazonais. Filtros sazonais assimétricos são usados ​​nas extremidades da série. Os pesos assimétricos para cada um dos filtros sazonais usados ​​em X11 podem ser encontrados na seção 5.4 das Notas do Curso da Série de Tempo. Por que as estimativas de tendências são revisadas No final atual de uma série de tempo, não é possível usar filtros simétricos para estimar a tendência por causa do problema do ponto final. Em vez disso, filtros assimétricos são usados ​​para produzir estimativas de tendência provisórias. No entanto, à medida que mais dados se tornam disponíveis, é possível recalcular a tendência usando filtros simétricos e melhorar as estimativas iniciais. Isso é conhecido como uma revisão de tendência. QUANTIDADE DE DADOS É OBRIGADA A OBTER ESTIMATIVAS ACEITÁVEIS AJUSTADAS SAZONALMENTE Se uma série temporal exibir sazonalidade relativamente estável e não for dominada pela componente irregular, então 5 anos de dados podem ser considerados um comprimento aceitável para derivar estimativas ajustadas sazonalmente de. Para uma série que mostra uma sazonalidade particularmente forte e estável, um ajuste bruto pode ser feito com 3 anos de dados. É geralmente preferível ter pelo menos 7 anos de dados para uma série de tempo normal, para identificar precisamente padrões sazonais, dia de negociação e efeitos de férias em movimento, tendência e quebras sazonais, bem como outliers. As abordagens baseadas em modelos permitem as propriedades estocásticas (aleatoriedade) da série em análise, no sentido de que elas adaptam os pesos dos filtros com base na natureza da série. A capacidade do modelo 8217s para descrever com precisão o comportamento da série pode ser avaliada, e inferências estatísticas para as estimativas estão disponíveis com base no pressuposto de que o componente irregular é o ruído branco. Os métodos baseados em filtros são menos dependentes das propriedades estocásticas das séries temporais. É responsabilidade do analista de séries temporais escolher o filtro mais apropriado de uma coleção limitada para uma série particular. Não é possível realizar verificações rigorosas sobre a adequação do modelo implícito e medidas exatas de precisão e inferência estatística não estão disponíveis. Portanto, um intervalo de confiança não pode ser construído em torno da estimativa. Os diagramas a seguir comparam a presença de cada um dos componentes do modelo nas freqüências sazonais para as duas filosofias de ajuste sazonal. O eixo x é o comprimento do período do ciclo eo eixo y representa a força dos ciclos que compreendem cada componente: Figura 11: Comparação das duas filosofias de ajuste sazonal Os métodos baseados em filtros pressupõem que cada componente existe apenas um certo comprimento de ciclo. Os ciclos mais longos formam a tendência, a componente sazonal está presente nas frequências sazonais ea componente irregular é definida como ciclos de qualquer outro comprimento. Sob uma filosofia baseada em modelo, a tendência, componente sazonal e irregular estão presentes em todos os comprimentos de ciclo. O componente irregular é de força constante, os picos de componente sazonal em frequências sazonais ea componente de tendência é mais forte nos ciclos mais longos. Esta página foi publicada pela primeira vez em 14 de Novembro de 2005, actualizada pela última vez em 25 de Julho de 2008